Question

（2013•保定一模）设a＞0，b＞0，且a+b=2，

1

a

+

1

b

的最小值为m，记满足x²+y²≤3m的所有整点坐标为（x_i，y_i）（i=1，2，3，…，n），则

n

i=1

|xiyi|

20

．

Answer 1

分析：依题意，可求得m=2，x²+y²≤3m?x²+y²≤6．从而求得整点坐标（x_i，y_i），计算即可得

n

i=1

|xiyi|．

解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+b=2，
∴

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）×

1

2

（a+b）=

1

2

（1+

b

a

+

a

b

+1）≥

1

2

×4=2（当且仅当a=b=1时取“=”）．
∴

1

a

+

1

b

的最小值为2，即m=2．
∴x²+y²≤3m?x²+y²≤6．
∴其整点坐标为：（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±1，±1），（±1，±2），（±2，±1）共19个．
∴

19

i=1

|x_iy_i|=4×1+4×2+4×2=20．
故答案为：20．

点评：本题考查基本不等式，考查点与圆的位置关系，考查数列的求和，求得m的值与整点坐标（x_i，y_i）是关键，属于中档题．