Question

过抛物线y²=2px(p＞0)的对称轴上的定点M(m,0)(m＞0),作直线AB与抛物线相交于A,B两点.

(1)试证明A,B两点的纵坐标之积为定值;

(2)若点N是定直线l:x=－m上的任意一点,分别记直线AN,MN,BN的斜率为k₁,k₂,k₃,试探求k₁,k₂,k₃之间的关系,并给出证明.

Answer 1

证明：(1)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)有y₁y₂=－2pm,下证之:

设直线AB的方程为:x=ty+m与y²=2px联立得,消去x得y²－2pty－2pm=0,

由韦达定理得y₁y₂=－2pm.

(2)三条直线AN,MN,BN的斜率成等差数列,下证之:

设点N(－m,n),则直线AN的斜率为;

直线BN的斜率为,

∴.

又∵直线MN的斜率为

∴k_AN+k_BN=2k_MN,即直线AN,MN,BN的斜率成等差数列.