Question

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F₁PF₂=60°，则椭圆离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：设P为椭圆上一个动点，则当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F₁PF₂渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P处时，张角∠F₁PF₂达到最大值．由此可根据题意得：在Rt△POF₂中，∠OPF₂≥30°，所以
PO≤OF₂，代入数据化简，可得a²≤4c²，即≥，最后结合椭圆离心率e=∈（0，1），可得到该椭圆离心率e的取值范围．
解答：解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F₁PF₂渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P处时，
张角∠F₁PF₂达到最大值．由此可得：
∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F₁PF₂=60°，
∴△PF₁F₂中，∠F₁PF₂≥60°，可得Rt△POF₂中，∠OPF₂≥30°，
所以PO≤OF₂，即bc，其中c=
∴a²-c²≤3c²，可得a²≤4c²，即≥
∵椭圆离心率e=，且a＞c＞0
∴
故选C
点评：本题根据椭圆上一点对两个焦点的张角大于或等于60度，求椭圆离心率的取值范围，着重考查了直角三角形的三角函数和椭圆的简单几何性质等知识点，属于基础题．