Question

各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，且4Sn=

a

2 n

+2an+1，n∈N+．
求（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）再写一式，两式相减，证明数列{a_n}是公差为1的等差数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用等差数列的求和公式，即可求数列{a_n}前n项和S_n．

解答：解：（1）∵4Sn=

a

2 n

+2an+1，n∈N+，
∴n≥2时，4Sn-1=an-12+2an-1+1，
两式相减可得an2-an-12-2(an+aan-1)=0，
∵a_n，a_n-1均为正数，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列，
又n=1时，4S₁=a₁²+2a₁+1，解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）S_n=1+3+…+（2n-1）=

n(1+2n-1)

2

=n²．

点评：本题考查数列的性质和应用，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．