Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，则实数a=

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．

Answer 1

分析：根据不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），得f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a，再结合f（x）+6a=0有两个相等的根，运用根的判别式列出关于a的方程并解之，可得实数a的值．

解答：解：∵二次函数f（x）的二次项系数为a，不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），
∴f（x）+2x＞0即a（x-1）（x-3）＞0，且a＜0
由此可得：f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a
∴方程f（x）+6a=0即ax²-（2+4a）x+9a=0，此方程有两个相等的实数根
可得：△=（2+4a）²-4×a×9a=0，解之得a=-

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（a=1舍去）
故答案为：-

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点评：本题给出关于x的一元二次不等式的解集和一元二次方程有等根，求参数a之值，着重考查了一元二次不等式的解法和根的判别式等知识，属于基础题．