Question

若关于x的方程x²-x+a=0和x²-x+b=0（a≠b）的四个根组成首项为

1

4

的等差数列，则a+b的值是

31

72

．

Answer 1

分析：把x=

1

4

分别代入两个方程求出a，b的值，分a=

3

16

或者b=

3

16

加以分析，当a=

3

16

或者b=

3

16

时题意不成立，
所以考虑四个根的另外的分布情况，然后借助于根与系数关系列式求出另外两个根，并求出b的值，则答案可求．

解答：解：由题可知x1=

1

4

是方程的一个实根，
代入两个方程可得a=

3

16

或者b=

3

16

．
因为题目说a不等于b，所以取a=

3

16

．
解x2-x+

3

16

=0，得x1=

1

4

，x2=

3

4

．
因为4个实根可以组成等差数列，
所有可以知道这4个实根可能是

1

4

，

2

4

，

3

4

，1或

1

4

，

3

4

，

5

4

，

7

4

．
也就是说

2

4

，1或

5

4

，

7

4

是方程x2-x+b=0的解．
然则代进去发现是错误的．
因此要考虑另外一种情况：
设x²-x+b=0的2实根为x₃，x₄，
4个实根组成的等差数列为

1

4

，x3，x4，

3

4

．
根据等差数列的公式可以得两个方程，
x3-

1

4

=

3

4

-x4和2x3=

1

4

+x4，
解得x3=

5

12

，x4=

7

12

，
代入原方程验证成立，
同时解得b=

35

144

，
也就是所a+b=

31

72

．
故答案为

31

72

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了学生灵活处理和解决问题的能力，是中档题．