Question

x²+y²+2ax+a⁴-4=0和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则

1

a2

+

1

b2

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先将圆的方程配方得出圆心坐标与半径，根据x²+y²+2ax+a⁴-4=0和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三条公切线，得出两圆外切，圆心距等于两半径之和，得出a，b的关系式；a²+4b²=25，再利用基本不等式即可求得

1

a2

+

1

b2

的最小值．

解答：解：∵x²+y²+2ax+a²-4=0和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三条公切线，
∴两圆外切，
∴圆心距等于两半径之和，即得：a²+4b²=9，
∴

1

a2

+

1

b2

=(

1

a2

+

1

b2

)

a2+4b2

9

=

1

9

（5+

4b2

a 2

+

a2

b 2

）≥

1

9

（5+4）=1
当且仅当a=2b时取等号，
则

1

a2

+

1

b2

的最小值为1
故答案为：1

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要把握住基本不等式中的“一正”，“二定”，“三相等”的特点．