Question

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f(x)=

3x

9x+1

．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；
（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？

Answer 1

分析：（1）可设x∈（-2，0），则-x∈（0，2）由x∈（0，2）时，f(x)=

3x

9x+1

=

1

3x+ 1 3x

可求f（-x），再由奇函数的性质可求
（2）利用函数的单调性的定义进行证明即可
（3）转化为求解函数f（x）在（-2，2）上的值域，结合（2）可先求f（x）在（0，2）上的值域，然后结合奇函数的对称性可求在（-2，0）上的值域

解答：解：（1）设x∈（-2，0），则-x∈（0，2）
∵x∈（0，2）时，f(x)=

3x

9x+1

=

1

3x+ 1 3x

∴f(-x)=

1

3x+ 1 3x

由函数f（x）为奇函数可得，f（-x）=-f（x）
∴f(x)=-

1

3x+ 1 3x

∵f（0）=0，
∵周期为4且为奇函数，f（-2）=-f（2）=f（2）
∴f（-2）=f（2）=0
f(x)=

1 3x+3-x ，x∈(0，2) 0，x=0，±2 -1 3x+3-x ，x∈(-2，0)

（2）设0＜x₁＜x₂＜2
令g(x)=3x+

1

3x

则g(x1)-g(x2)=3x1+

1

3x1

-3x2-

1

3x2

=(3x1-3x2)+

3x2-3x1

3x1•3x2

=(3x1-3x2)(1-

1

3x13x2

)
∵0＜x₁＜x₂＜2
∴g（x₁）＜g（x₂）
∴函数g（x）在（0，2）单调递增，且g（x）＞0
∴f（x）在（0，2）单调递减
（3）由（2）可得当0＜x＜2时，f(x)=

1

3x+3-x

单调递减
故

9

82

＜f(x)＜

1

2

由奇函数的对称性可得，x∈（-2，0）时，-

1

2

＜f(x)＜-

9

82

当x=0时，f（0）=0
∵关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解
∴

9

82

＜λ＜

1

2

或-

1

2

＜λ＜-

9

82

或λ =0

点评：本题主要考查了利用函数的奇函数的 性质求解函数的解析式，及利用函数单调性的定义进行判断函数单调性的问题，还考查了方程与函数的相互转化的思想在解题中的应用，属于综合试题