题目内容
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1，CA=| 3 |
（Ⅰ）求证：AM⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求平面ABM与平面AB1C1所夹锐角的余弦值．
分析：（Ⅰ）由题意，可以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，给出各点的坐标，由于已知AM⊥BA1．故可由向量的数量积为0证明AM⊥BC，再由线面垂直的判定定理证明AM⊥平面A1BC；
（II）求平面ABM与平面AB1C1所夹锐角的余弦值，可先求出两个平面的法向量，再由公式cosθ=|
|即可求得所要的结果
（II）求平面ABM与平面AB1C1所夹锐角的余弦值，可先求出两个平面的法向量，再由公式cosθ=|
| ||||
|
|
解答：
证明：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（
，0，0），B（0，1，0），A1（
，0，3），
B1（0，1，3），C1（0，0，3），
=（0，1，0），（1分）
设M（0，0，t），则
=（
，0，t），∴
•
=0
即AM⊥BC，又因为AM⊥BA1，
所以 AM⊥平面A1BC （3分）
解：（Ⅱ）
=（
，-1，3），因为AM⊥BA1，所以
•
=-3+3t=0，得t=1，
即M（0，0，1），，可得平面ABM的一个法向量为
=（1，
，
） （3分）
又
=（-
，1，3），
=（-
，0，3），，设平面AB1C1的一个法向量为
=（X，Y，Z），
则
•
=0且
•
=0，得Y=0，x=
z，，令z=1，得平面平面AB1C1的一个法向量为
=（
，0，1），（3分）
设平面ABM与平面AB1C1所夹锐角为θ，
则cosθ=|
|=
=
（2分）
证明：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（| 3 |
| 3 |
B1（0，1，3），C1（0，0，3），
| CB |
设M（0，0，t），则
| AM |
| 3 |
| AM |
| CB |
即AM⊥BC，又因为AM⊥BA1，
所以 AM⊥平面A1BC （3分）
解：（Ⅱ）
| BA1 |
| 3 |
| AM |
| BA1 |
即M（0，0，1），，可得平面ABM的一个法向量为
| n1 |
| 3 |
| 3 |
又
| AB1 |
| 3 |
| AC1 |
| 3 |
| n2 |
则
| n2 |
| AB1 |
| n2 |
| AC1 |
| 3 |
| n2 |
| 3 |
设平面ABM与平面AB1C1所夹锐角为θ，
则cosθ=|
| ||||
|
|
2
| ||
2×
|
| ||
| 7 |
点评：本题考查由向量方法证明线面垂直，求两平面的夹角，解题的关键是熟练掌握向量法解决几何问题的方法，本题的难点是正确建系，理解两向量的夹角与两平面夹角的对应关系．
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