Question

如图，四棱锥的底面是正方形，平面．，，是上的点．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析   （Ⅱ）

（Ⅰ）证明：连结．


因为底面是正方形，
所以．
因为平面，平面，
所以．……………………………………………………………………3分
又因为，
所以平面．……………………5分
因为平面，
所以．…………………………7分
（Ⅱ）因为平面，
所以．
因为底面是正方形，
所以．
又因为，
所以平面，所以．…………………………………………10分
过点在平面内作于，连结．
由于，
所以平面．
所以．
故是二面角的平面角．………………………………………12分
在中，，，可求得．
在中，，，可求得．
所以．
即二面角的余弦值为．…………………………………………14分
解法（二）（Ⅰ）如图以为原点建立空间直角坐标系．
则，，，，，，
，
．…………………3分
．
所以．即．…………………………………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
设平面的法向量为，则由
，，得
 即
取，得．……………………………………………………………11分
易知平面的一个法向量为．
设二面角的平面角为．
则．
即二面角的余弦值为．