Question

18．已知函数f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{3}$）+h，（A＞0，ω＞0）的最大值和最小值分别为4和0，且函数图象与x轴相邻两个交点的距离为π；
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）求当x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据y=Asin（ωx+φ）+h的最大值为M，最小值为m，则A=$\frac{M-m}{2}$，h=$\frac{M+m}{2}$，求得A=2，h=2，函数与x的相邻交点的距离是一个周期，T=π，利用T=$\frac{2π}{ω}$求得ω，写出解析式，
（2）利用正弦函数的单调性可得f（x）的单调增区间；
（3）x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，从而可得f（x）的取值范围．

解答 解：（1）y=Asin（ωx+φ）+h的最大值为M，最小值为m，则A=$\frac{M-m}{2}$，h=$\frac{M+m}{2}$，
∴A=2，h=2，
由函数图象可知，T=π，ω=$\frac{2π}{T}$=2，
∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2；
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z），
得：kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]k∈Z；
（3）x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，则2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2的值域为[1，4]．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）+h的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性及最值，属于中档题．