Question

3．在平面直角坐标系中，圆C的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$ （θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m（m∈R）．
（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；
（Ⅱ）当C上有且只有一点到直线l的距离等于$\sqrt{2}$时，求C上到直线l距离为2$\sqrt{2}$的点的坐标．

Answer 1

分析 （I）将曲线方程化成直角坐标方程，计算圆心到直线的距离与圆的半径比较大小得出结论；
（II）由题意可知直线与圆相离，且圆心到直线l的距离为2$\sqrt{2}$，故到直线l的距离等于2$\sqrt{2}$的点在过圆心且与直线l平行的直线上，求出此直线的参数方程代入圆的方程求出该点对应的参数，得出该点的坐标．

解答 解：（I）圆C的普通方程为（x-1）²+（y-1）²=2，
∴圆心坐标为（1，1），半径r=$\sqrt{2}$．
m=3时，直线l的直角坐标方程为x+y-3=0．
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{|1+1-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜r．
∴直线l与圆C相交．
（II）直线l的普通方程为x+y-m=0．
∵C上有且只有一点到直线l的距离等于$\sqrt{2}$，
∴直线l与圆C相离，且圆心到直线的距离为$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．
∴圆C上到直线l的距离等于2$\sqrt{2}$的点在过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线上．
∴过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
将：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆C的普通方程得t²=2，
∴t₁=$\sqrt{2}$，t₂=-$\sqrt{2}$．
当t=$\sqrt{2}$时，$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，当t=-$\sqrt{2}$时，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$．
∴C上到直线l距离为2$\sqrt{2}$的点的坐标为（0，2），（2，0）．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．