Question

如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系．点在正方体的对角线上，点在正方体的棱上．
（１）  当点为对角线的中点，点在棱上运动时，探究的最小值；
（２）  当点为棱的中点，点在对角线上运动时，探究的最小值；
（３）  当点在对角线上运动，点在棱上运动时，探究的最小值．
由以上问题，你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
 

Answer 1

（1）有最小值 （2）取得最小值 （3）最小值是

设正方体的棱长为．
（１）  当点为对角线的中点时，点的坐标是．
因为点在线段上，设．
　　　．
当时，的最小值为，即点在棱的中点时，有最小值．
（２）  因为在对角线上运动．是定点，所以当
时，最短．因为当点为棱的中点时，，是等腰三角形，所以，当点是的中点时，取得最小值．
（３）  当点在对角线上运动，点在棱上运动
时，的最小值仍然是．
证明：如下图，设，由正方体的对称性，显然有．
设在平面上的射影是．在中，，所以，即有．
所以，点的坐标是．
由已知，可设，则
．
当时，取得最小值，最小值是．