Question

【题目】已知椭圆上任意一点到其两个焦点，的距离之和等于，且圆经过椭圆的焦点．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，若直线与圆O相切，且与椭圆相交于A，B两点，直线与平行且与椭圆相切于点M（O，M位于直线的两侧）．记，的面积分别为，，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）已知椭圆上任意一点到其两个焦点，的距离之和等于，可得，圆经过椭圆的焦点，求得，即可求得椭圆的方程；

（2）由于与圆相切，可得，联立椭圆和方程，由直线与椭圆相切，可得，根据三角形面积公式求得，，进而求得的取值范围.

（1）已知椭圆上任意一点到其两个焦点，的距离之和等于

由椭圆定义可得，

．

椭圆的焦点在上

圆与交点为

又圆经过椭圆的焦点

可得椭圆

，

故椭圆方程为．

（2）由于与圆相切，

根据点到直线距离公式可得圆的圆心到直线的距离为：，

即．

设直线的方程为，

联立椭圆和方程，可得消去y，

可得：，

直线与椭圆相切，

，整理得．

直线与之间的距离，，，

．

可得：．

，

，

，

又，位于直线的两侧，

m，n同号，

，

，，

故的取值范围是：．