Question

13．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点（P点可以和A点重合，Q点可以与B点重合），且P，G，Q三点共线．
（1）设$\overrightarrow{PG}=λ\overrightarrow{PQ}$，将$\overrightarrow{OG}$用$λ，\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OQ}$表示；
（2）若△OAB为正三角形，且边长|AB|=a，设|PG|=x，|QG|=y，求$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据向量加法的三角形法则求解，即$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PG}$；
（2）在△OPG和△OQG中分别利用正弦定理，得出$\frac{1}{x^2}$+$\frac{1}{y^2}$=$\frac{12}{a^2}$[1+$\frac{1}{2}$cos（2θ-$\frac{2π}{3}$）]，再根据角θ的范围求得该式的最值．

解答 解：（1）根据向量加法的三角形法则，
$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{PG}$=$\overrightarrow{OP}$+λ•$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{OP}$+λ•（$\overrightarrow{OQ}$-$\overrightarrow{OP}$）=（1-λ）$\overrightarrow{OP}$+λ$\overrightarrow{OQ}$，
即$\overrightarrow{OG}$=（1-λ）$\overrightarrow{OP}$+λ$\overrightarrow{OQ}$；
（2）如右图，设∠OPG=θ，因为三角形OAB为正三角形，且G为重心，
所以，当P在A处时，θ=$\frac{π}{6}$，当P在OA中点时，θ=$\frac{π}{2}$，
故θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，且∠OQG=$\frac{2π}{3}$-θ，
在△OPG中，由正弦定理得，$\frac{PG}{sin∠POG}$=$\frac{OG}{sinθ}$，
其中，PG=x，OG=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，解得x=$\frac{\sqrt{3}a}{6}$•$\frac{1}{sinθ}$，
在△OQG中，由正弦定理得，$\frac{QG}{sin∠QOG}$=$\frac{OG}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，
其中，QG=y，OG=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，解得y=$\frac{\sqrt{3}a}{6}$•$\frac{1}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，
所以，$\frac{1}{x^2}$+$\frac{1}{y^2}$=$\frac{12}{a^2}$•[sin²θ+sin²（$\frac{2π}{3}$-θ）]
=$\frac{12}{a^2}$[1-$\frac{1}{2}$（cos2θ+cos（$\frac{4θ}{3}$-2θ））]=$\frac{12}{a^2}$[1+$\frac{1}{2}$cos（2θ-$\frac{2π}{3}$）]，
因为，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，所以，2θ-$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
所以，cos（2θ-$\frac{2π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
故$\frac{1}{x^2}$+$\frac{1}{y^2}$∈[$\frac{15}{a^2}$，$\frac{18}{a^2}$]．

点评 本题主要考查了向量的线性运算及其几何意义，以及运用正弦定理解三角形和三角函数最值的确定，属于难题．