Question

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）上一定点P（x₀，y₀）（y₀＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（I）求该抛物线上纵坐标为

p

2

的点到其焦点F的距离
（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求

y1+y2

y0

的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．

Answer 1

分析：（I）把y=

p

2

代入抛物线方程求得x，进而利用抛物线的方程推断出准线方程，最后根据抛物线的定义求得答案．
（II）设出直线PA，PB的斜率，把A，P点代入抛物线的方程相减后，表示出两直线的斜率，利用其倾斜角互补推断出
k_PA=-k_PB，求得三点纵坐标的关系式，同样把把A，B点代入抛物线的方程相减后，表示出AB的斜率，将y₁+y₂=-2y₀代入求得结果为非零常数．

解答：解：（I）当y=

p

2

时，x=

p

8

又抛物线y²=2px的准线方程为x=-

p

2

由抛物线定义得，所求距离为

p

8

-(-

p

2

)=

5p

8

（II）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB
由y₁²=2px₁，y₀²=2px₀
相减得（y₁-y₀）（y₁+y₀）=2p（x₁-x₀）
故kPA=

y1-y0

x1-x0

=

2p

y1+y0

(x1≠x0)
同理可得kPB=

2p

y2+y0

(x2≠x0)
由PA，PB倾斜角互补知k_PA=-k_PB
即

2p

y1+y0

=-

2p

y2+y0

所以y₁+y₂=-2y₀
故

y1+y2

y0

=-2
设直线AB的斜率为k_AB
由y₂²=2px₂，y₁²=2px₁
相减得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁）
所以kAB=

y2-y1

x2-x1

=

2p

y1+y2

(x1≠x2)
将y₁+y₂=-2y₀（y₀＞0）代入得kAB=

2p

y1+y2

=-

p

y0

，所以k_AB是非零常数

点评：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．