Question

（2007•汕头二模）设x=log₂（sinθ+cosθ），θ∈（0，

π

2

）．
（I）求x的取值范围；
（Ⅱ）设y=

x+ 1 x

，试问当θ变化时，y有没有最小值，如果有，求出这个最小值，如果没有，说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的辅助角公式可求得x=log2[

2

sin(θ+

π

4

)]，0＜θ＜

π

2

，利用正弦函数的单调性与最值及对数函数的单调性即可求得x的取值范围；
（Ⅱ）设u（x）=x+

1

x

，则u′（x）=1-

1

x2

，依题意，可求得0＜x≤

1

2

时，u′（x）＜0，从而可对题目要求作出判断．

解答：解：（Ⅰ）x=log₂（sinθ+cosθ）=log2[

2

sin(θ+

π

4

)]，…（2分）
∵0＜θ＜

π

2

，
∴

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，…（4分）
∴1＜

2

sin（θ+

π

4

）≤

2

，即0＜x≤

1

2

．…（7分）
（Ⅱ）设u（x）=x+

1

x

，则u′（x）=1-

1

x2

，…（8分）
当0＜x≤

1

2

时，u′（x）＜0，
故u（x）在（0，

1

2

]上是减函数．               …（11分）
∴当x=

1

2

时，u（x）有最小值

5

2

，
∴y=

x+ 1 x

当θ变化时，y_min=

5 2

=

10

2

．  …（14分）

点评：本题考查复合函数的单调性，求得x=log2[

2

sin(θ+

π

4

)]是关键，考查导数的应用，属于中档题．