Question

设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A（0，2），右焦点F与点B(

2

 ， 

2

)的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在经过点（0，-3）的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足|

AM

|=|

AN

|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根据条件得到(c-

2

)2+2=4以及b=2；求出a²=12即可得到椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为y=kx-3（k≠0），由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上；联立直线方程和椭圆方程得到k的屈指范围以及点M，N的坐标和k的关系，结合点A在线段MN的垂直平分线对应的斜率相乘等于-1即可求出结论．

解答：解：（1）依题意，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 ( a＞b＞0 )，
则其右焦点坐标为F(c ， 0 ) ，c=

a2-b2

，由|FB|=2，
得

(c- 2 )2+(0- 2 )2

=2，即(c-

2

)2+2=4，故c=2

2

．
又∵b=2，∴a²=12，
从而可得椭圆方程为

x2

12

+

y2

4

=1．--（6分）
（2）由题意可设直线l的方程为y=kx-3（k≠0），由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，
由

y=kx-3 x2 12 + y2 4 =1

消去y得x²+3（kx-3）²=12，即可得方程（1+3k²）x²-18kx+15=0…（*）
当方程（*）的△=（-18k）²-4（1+3k²）×15=144k²-60＞0
即k2＞

5

12

时方程（*）有两个不相等的实数根．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点P（x₀，y₀），
则x₁，x₂是方程（*）的两个不等的实根，故有x1+x2=

18k

1+3k2

．
从而有  x0=

x1+x2

2

=

9k

1+3k2

，y0=kx0-3=

9k2-3 (1+3k2)

1+3k2

=

-3

1+3k2

．
于是，可得线段MN的中点P的坐标为P (

9k

1+3k2

 ， 

-3

1+3k2

)
又由于k≠0，因此直线AP的斜率为k1=

-3 1+3k2 -2

9k 1+3k2

=

-5-6k2

9k

，
由AP⊥MN，得

-5-6k2

9k

×k=-1，即5+6k²=9，解得k2=

2

3

＞

5

12

，
∴k=±

6

3

，
∴综上可知存在直线l：y=±

6

3

x-3满足题意．--------（13分）

点评：本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．