Question

(本题13分) 设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为,右焦点与点的距离为.

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在经过点的直线,使直线与椭圆相交于不同的两点满足？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由.

Answer 1

解:(1)依题意,设椭圆方程为,则其右焦点坐标为,由,得,即,故. 又∵,∴,从而可得椭圆方程为.——  6分

(2)由题意可设直线的方程为,由知点在线段的垂直平分线上,

由消去得,即可得方程…（*）

当方程（*）的即时方程（*）有两个不相等的实数根.

设,,线段的中点,则是方程（*）的两个不等的实根,故有.从而有  ,.

于是,可得线段的中点的坐标为

又由于,因此直线的斜率为,

由,得，即，解得，∴，

∴综上可知存在直线：满足题意.————————13分