题目内容

求证关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0．

答案：
解析：

　　证明：必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0．∴a＋b＋c＝0．

　　充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b．代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，

　　∴x－1＝0或ax＋a＋b＝0．∴x＝1．

　　故ax2＋bx＋c＝0有一个根为1．


提示：

本题主要考查了充要条件的定义．首先要分清条件与结论，条件是“a＋b＋c＝0”，结论是“方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1”．充分性是证明“条件”“结论”，必要性是证明“结论”“条件”．


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设a、b∈R，关于x的方程x2+ax+b=0的实根为α、β．若|a|+|b|＜1，求证：|α|＜1，|β|＜1．
已知关于x的方程x2-ax+a-2=0
（1） 求证：方程有两个不相等实根．
（2）若方程的一个根在(-1，-
1
2
)上，另一个根在(-
1
2
，2)上．求a的取值范围．
已知函数f（x）=lnx-ax+1（x＞0）
（1）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，求实数a的最小值．
（2）若a=
5
2
且关于x的方程f（x）=-
1
2
x2+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）设各项为正的数列{an}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*．求证：an≤2n-1．
（2012•泸州二模）设a＞0，函数f(x)=
1
x2+a
．
（1）求证：关于x的方程f(x)=
1
x-1
没有实数根；
（2）求函数g(x)=
1
3
ax3+ax+
1
f(x)
的单调区间；
（3）设数列{xn}满足x1=0，xn+1=f(xn)(n∈N*)，当a=2且0＜xk≤
1
2
(k=2，3，4，…)，证明：对任意m∈N*都有|xm+k-xk|＜
1
3•4k-1
．
（2012•泸州二模）已知函数f（x）=ax2+bx+c和函数g（x）=ln（1+x2）+ax（a＜0）．
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知关于x的方程f（x）=x没有实数根，求证方程f（f（x））=x也没有实数根；
（Ⅲ）证明：(1+
1
22
)(1+
1
42
)(1+
1
82
)…(1+
1
22n
)＜e(n∈N*)．

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