Question

已知关于x的方程x²-ax+a-2=0
（1） 求证：方程有两个不相等实根．
（2）若方程的一个根在(-1，-

1

2

)上，另一个根在(-

1

2

，2)上．求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要证明方程有两个不相等实根，即证明△＞0，根据已知中方程x²-ax+a-2=0，计算△的值并判断与0的关系，易得结论．
（2）若方程的两个根中，一根在(-1，-

1

2

)上，另一根在(-

1

2

，2)上，结合方程根与对应函数零点的关系，我们易得到对应函数在区间(-1，-

1

2

)上和(-

1

2

，2)上各有一个零点，结合函数的图象和性质，我们易构造一个关于a的不等式组，解不等式组即可得到满足条件的a的取值范围．

解答：证明：（1）∵△=（-a）²-4（a-2）=a²-4a+8=（a-2）²+4≥4＞0
∴方程x²-ax+a-2=0有两个不相等实根．
解：（2）设f（x）=x²-ax+a-2
若方程的两个根中，一根在(-1，-

1

2

)上，另一根在(-

1

2

，2)上，
则有

f(-1)＞0 f(- 1 2 )＜0 f(2)＞0

.?

a＞ 1 2 a＜ 7 6 a＜2

?

1

2

＜a＜

7

6

．
当

1

2

＜a＜

7

6

时方程的两个根中，一根在(-1，-

1

2

)上，另一根在(-

1

2

，2)上．

点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系及一元二次不等式的解法，其中利用方程根与对应函数零点的关系及二次函数的性质，构造关于a的不等式组是解答本题的关键．