Question

已知抛物线．
(1)若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标；
(2)抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率；
(3)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为试求满足成等差数列的充要条件．

Answer 1

（1）；（2）；（3）直线与轴相垂直

试题分析：（1）本题考查抛物线的定义，由于直线是已知抛物线的的准线，而圆心在抛物线上的圆既然与准线相切，则它必定过抛物线的焦点，所以所有的圆必过抛物线的焦点，即定点；（2）这是直线与抛物线相交问题，设如设，，则，两式相减有，则，下面就是要求或，为此，我们设直线方程为，把它与抛物线方程联立方程组，消去，就可得到关于的方程，可得，，只是里面含有，这里解题的关键就是已知条件怎样用？实际上有这个条件可得，这样与刚才的，合起来就能求出；（3）设，成等差数列即，仿照（2）此式为①，由于直线可能与轴垂直，但不会与轴垂直，设直线的方程为，代入抛物线方程消去得关于的二次方程，可得，这样①式可化为，从而得到，即直线的方程为，与轴垂直．
试题解析：(1) 由定义可得定点(1,0);（4分）
(2)设,由,得（5分）
由方程组,得
得（7分）联立上述方程求得:．（9分）
(3)（理）设直线的方程为,代入,得:,设,则（11分）
若
，即
有，即：
由此得：，，（15分）
所以当直线的方程为时，也就是成立的充要条件是直线与轴相垂直。（16分）