Question

3．已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$，设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？

Answer 1

分析 根据已知中函数为偶函数，可得f（x）=ax²+1，进而F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax}^{2}+1，x＞0\\-{ax}^{2}-1，x＜0\end{array}\right.$，结合m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0，可得结论．

解答 解：∵函数f（x）=ax²+bx+1是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即ax²-bx+1=ax²+bx+1，
即b=0，
∴f（x）=ax²+1，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{ax}^{2}+1，x＞0\\-{ax}^{2}-1，x＜0\end{array}\right.$，
∵m＞0，n＜0，m+n＞0，
则m＞-n＞0，
∴|m|＞|n|，
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am²+1）-（an²+1）=a（m²-n²）＞0，
即F（m）+F（n）能大于零．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，二次函数的性质，分段函数的应用，难度中档．