题目内容
已知α，β≠
+kπ（k∈Z）且sinα是sinθ、cosθ的等差中项，sinβ是sinθ、cosθ的等比中项．求证：
=
．
【答案】分析：所证明的式子中不含角θ，因此先由已知，考虑将θ作为桥梁，沟通α，β，得出4sin2α-2sin2β=1．再将所证明的式子切函数化成弦函数，等价变形，与上式一致即可．．
解答：证明：由题意，sinθ+cosθ=2sinα ①，sinθ•cosθ=sin2β ②，…（2分）
①2-2×②消去θ得4sin2α-2sin2β=1③．…（5分）
另一方面，要证
=
，即证
=
…（7分）
即证cos2α-sin2α=
（cos2β-sin2β） …（9分）
即证1-2sin2α=
（1-2sin2β） …（11分）
亦即证4sin2α-2sin2β=1，而此式在③已证，故原等式成立．…（13分）
点评：本题考查三角函数恒等式的证明，要求灵活运用同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦、余弦函数公式化简求值，具有减元，切化弦的意识和方法．
解答：证明：由题意，sinθ+cosθ=2sinα ①，sinθ•cosθ=sin2β ②，…（2分）
①2-2×②消去θ得4sin2α-2sin2β=1③．…（5分）
另一方面，要证
=
，即证
=
…（7分）即证cos2α-sin2α=
（cos2β-sin2β） …（9分）即证1-2sin2α=
（1-2sin2β） …（11分）亦即证4sin2α-2sin2β=1，而此式在③已证，故原等式成立．…（13分）
点评：本题考查三角函数恒等式的证明，要求灵活运用同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦、余弦函数公式化简求值，具有减元，切化弦的意识和方法．
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