Question

有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元与5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

Answer 1

分析：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导数的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置.

解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km，则

∵BD=40，AC=50-x，

∴BC==.

又设总的水管费用为y元，依题意有

y=3a(50-x)+5a(0＜x＜50.

y′=-3a+.令y′=0,

解得x=30.

在（0，50）上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义.

函数在x=30 km处取得最小值，此时AC=50-x=20( km).

∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.

解法二：设∠BCD=θ,

则BC=,CD=40·cotθ,(0＜θ＜).

∴AC=50-40·cotθ.

设总的水管费用为f(θ)，依题意，有

f(θ)=3a(50-40·cotθ)+5a·

=150a+40a·，

∴f′(θ)=40a·

=40a·,

令f′(θ)=0,得cosθ=.

根据问题的实际意义，

当cosθ=时，函数取得最小值，

此时sinθ=,∴cotθ=,

∴AC=50-40cotθ=20( km)，即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.