Question

设向量

a

=（sin

π

2

x，cos

π

2

x，

b

=（sin

π

2

x，

3

sin

π

2

x），x∈R，函数f（x）=

a

•（

a

+2

b

）．
（1）求f（x）在[0，1]上的最大值和最小值；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移

1

6

个单位后，再将得到的图象上的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，计算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2015）．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,对数的运算性质,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用向量的坐标表示出f（x）的解析式，利用两角和公式对函数解析式化简整理，最后利用正弦函数的有界性确定最值．
（2）由三角函数的图象变换求出g（x）的解析式，发现g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2015）的周期再求值．

解答： 解：因为

a

=（sin

π

2

x，cos

π

2

x），

b

=（sin

π

2

x，

3

sin

π

2

x），x∈R，
所以函数f（x）=

a

•（

a

+2

b

）=（sin

π

2

x，cos

π

2

x）（3sin

π

2

x，cos

π

2

x+2

3

sin

π

2

x）
=3sin²

π

2

x+cos²

π

2

x+2

3

cos

π

2

xsin

π

2

x=2+2sin（πx-

π

6

），
所以（1）f（x）在[0，1]上的最大值为4和最小值1；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移

1

6

个单位后，再将得到的图象上的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=2+2sin

π

2

x，
其周期为：4，所以g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=0，所以g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2015）=g（1）+g（2）+g（3）=0．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质，考查了学生对基础知识的掌握程度．