题目内容

已知x∈[-1，1]，则方程2-|x|=cos2πx所有实数根的个数为    ．
【答案】分析：在同一坐标系中，作出f（x）=2-|x|，g（x）=cos2πx的图象，根据图形的对称性，可得结论．
解答：解：设f（x）=2-|x|，g（x）=cos2πx．易知函数f（x）=2-|x|的图象关于y轴对称，函数g（x）=cos2πx的最小正周期为1，作出函数f（x）=2-|x|与函数g（x）=cos2πx的图象（如图所示）．数形结合易知函数f（x）=2-|x|与函数g（x）=cos2πx的图象有5个交点，故方程2-|x|=cos2πx所有实数根的个数为5．

故答案为：5
点评：本题考查方程解的个数的求解，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=
g(x)
x
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）不等式f（2x）-k•2x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的范围；
（Ⅲ）方程f(|2x-1|)+k(
2
|2x-1|
-3)=0有三个不同的实数解，求实数k的范围．
已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0，
（1）求m与n的关系式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若m＜-4，求证：函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点．
（2012•茂名一模）已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）求实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求a的值；
（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[-1，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；
（3）讨论关于x的方程
lnxf(x)
=x2-2ex+m的根的个数．
（2013•内江二模）已知函数f（x）=ax+
b
x
+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1
（1）用a表示出b，c；
（2）求证：当0＜a≤
1
2
；时，f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立；
（3）证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）+
n
2(n+1)
．
已知函数f（x）=exlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设x＞0，求证：f（x+1）＞e 2x﹣1；
（3）设n∈N*，求证：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n﹣3．

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