Question

（2013•内江二模）已知函数f（x）=ax+

b

x

+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1
（1）用a表示出b，c；
（2）求证：当0＜a≤

1

2

；时，f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立；
（3）证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）+

n

2(n+1)

．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义、切线方程即可得出；
（2）令g（x）=f（x）-lnx，通过求导，利用其单调性即可证明；
（3）由（2）可知：当0＜a≤

1

2

；时，ax+

a-1

x

+1-2a≤lnx在（0，1]上恒成立；令a=

1

2

，x=

n

n+1

，则

n

2(n+1)

-

n+1

2n

≤ln

n

n+1

，化为

1

n

+

1

n+1

≥2[ln(n+1)-lnn]．利用“累加求和”即可得出．

解答：（1）解：∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，
∴切线的斜率k=1，f（1）=1-1=0，即切点为（1，0），
∵f′(x)=a-

b

x2

，∴f^′（1）=a-b=1．
又f（1）=a+b+c=0，联立

a-b=1 a+b+c=0

，解得b=a-1，c=1-2a．
∴b=a-1，c=1-2a．
（2）证明：令g（x）=f（x）-lnx，则g′(x)=f′(x)-

1

x

=a-

a-1

x2

-

1

x

=

ax2-x-(a-1)

x2

=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

，
令g^′（x）=0，则x=1或

1-a

a

．
∵0＜a≤

1

2

，∴

1-a

a

≥

1

2a

≥1，
∴当x∈（0，1]时，g^′（x）≥0．
∴函数g（x）在区间（0，1]上单调递增，∴g（x）≤g（1）=f（1）-ln1=a+b+c-0=0，
∴f（x）≤lnx在（0，1]上恒成立．
（3）由（2）可知：当0＜a≤

1

2

；时，ax+

a-1

x

+1-2a≤lnx在（0，1]上恒成立；
令a=

1

2

，x=

n

n+1

，则

n

2(n+1)

-

n+1

2n

≤ln

n

n+1

，
化为

1

n

+

1

n+1

≥2[ln(n+1)-lnn]．
∴1+

1

2

≥2(ln2-ln1)，

1

2

+

1

3

≥2(ln3-ln2)，
…

1

n

+

1

n+1

≥2[ln(n+1)-lnn]．
将上面的等式相加得到1+2(

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)+

1

n+1

≥2ln（n+1）．
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln(n+1)+

1

2

-

1

2(n+1)

，
即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln(n+1)+

n

2(n+1)

．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、切线方程、善于把问题恰当转化为已经证明的问题是解题的关键．