Question

（2013•镇江二模）如图所示，有两条道路OM与ON，∠MON=60°，现要铺设三条下水管道OA，OB，AB（其中A，B分别在OM，ON上），若下水管道的总长度为3km，设OA=a（km），OB=b（km）．
（1）求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；
（2）已知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为

3

4

km，到点O的距离PO为

7

4

km，问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P？若能，求出a的值，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把AB的长度用含有a，b的代数式表示，在三角形AOB中利用余弦定理得到b和a的关系，即得到b关于a的函数表达式，利用三角形两边之和大于第三边得到a的取值范围；
（2）利用解析法，以O为原点，OM所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出P点的坐标，假设AB过点P，设出A，B的坐标，写出A，B所在直线方程，把P点坐标代入直线方程求出a的值，在定义域当中，则假设成立，否则，不成立．

解答：解：（1）∵OA+OB+AB=3，∴AB=3-a-b．
∵∠MON=60°，由余弦定理，得AB²=a²+b²-2abcos60°．
∴（3-a-b）²=a²+b²+ab．
整理，得b=

2a-3

a-2

．
由a＞0，b＞0，3-a-b＞0，及
a+b＞3-a-b，a+3-a-b＞b，b+3-a-b＞a，得0＜a＜

3

2

．
综上，b=

2a-3

a-2

，0＜a＜

3

2

．
（2）以O为原点，OM所在直线为x轴，建立如图所示直角坐标系．

∵PH=

3

4

，PO=

7

4

，∴点P（

1

2

，

3

4

）．
假设AB过点P．
∵A（a，0），B(

1

2

b，

3

2

b)，即B(

1

2

•

2a-3

a-2

，

3

2

•

2a-3

a-2

)，
∴直线AP方程为y=

3 4

1 2 -a

(x-a)，即y=

3

2-4a

(x-a)．
将点B代入，得

3

2

•

2a-3

a-2

=

3

2-4a

(

1

2

•

2a-3

a-2

-a)．
化简，得6a²-10a+3=0．
∴a=

5± 7

6

．
a=

5± 7

6

∈(0，

3

2

)．
答：下水管道AB能经过污水总管的接口点P，a=

5± 7

6

（km）．

点评：本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了余弦定理在解三角形中的应用，注意实际问题要有实际意义，是中档题．