题目内容
已知f（x）=
，定义fn（x）=
，n∈N*．（1）求f2004（
）；（2）设B={x|f15（x）=x，x∈[0，1]}，求证：B中至少含有9个元素．
【答案】分析：（1）根据题意得，分别计算函数的值得fn（
）是以5为周期变化的，从而得到f2004（
）=f4（
）=
．
（2）设A={
，
，
，
，
}，由（1）知，对于a∈A，有f5（
）=a，故f15（a）=a从而A⊆B，画出f（x）的图象，如图，由x=2（1-x），（
＜x≤1），得x=
，从而证证得C?B，从而得出{
，
，
，
，
，
，0，
，1}⊆B，即可证得结论．
解答：解：（1）根据题意得，
f1（x）=
=
，
f2（
）=fn（
）=2（1-
）=
，
f3（
）=fn（
）=2（1-
）=
，
f4（
）=fn（
）=2（1-
）=
，
f5（
）=fn（
）=2（1-
）=
，
所以fn（
）是以5为周期变化的，
从而f2004（
）=f4（
）=
．
（2）设A={
，
，
，
，
}，
由（1）知，对于a∈A，有f5（
）=a，故f15（a）=a，
∴A⊆B，
画出f（x）的图象，如图，
由x=2（1-x），（
＜x≤1），得x=
，故f（
）=
，∴f15（
）=
，
∴
∈B，设C={0，
，1}，
由f（0）=
，f（
）=1，f（1）=0知，
对于c∈C，有f3（c）=c，∴f5（c）=c，∴C⊆B，
综上所述，{
，
，
，
，
，
，0，
，1}⊆B，
故B中至少含有9个元素．
点评：本小题主要考查函数的周期性、分段函数的解析式求法及其图象的作法、集合之间的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
）是以5为周期变化的，从而得到f2004（
）=f4（
）=
．（2）设A={
，
，
，
，
}，由（1）知，对于a∈A，有f5（
）=a，故f15（a）=a从而A⊆B，画出f（x）的图象，如图，由x=2（1-x），（
＜x≤1），得x=
，从而证证得C?B，从而得出{
，
，
，
，
，
，0，
，1}⊆B，即可证得结论．解答：解：（1）根据题意得，
f1（x）=
=
，f2（
）=fn（
）=2（1-
）=
，f3（
）=fn（
）=2（1-
）=
，f4（
）=fn（
）=2（1-
）=
，f5（
）=fn（
）=2（1-
）=
，所以fn（
）是以5为周期变化的，从而f2004（
）=f4（
）=
．
（2）设A={
，
，
，
，
}，由（1）知，对于a∈A，有f5（
）=a，故f15（a）=a，∴A⊆B，
画出f（x）的图象，如图，
由x=2（1-x），（
＜x≤1），得x=
，故f（
）=
，∴f15（
）=
，∴
∈B，设C={0，
，1}，由f（0）=
，f（
）=1，f（1）=0知，对于c∈C，有f3（c）=c，∴f5（c）=c，∴C⊆B，
综上所述，{
，
，
，
，
，
，0，
，1}⊆B，故B中至少含有9个元素．
点评：本小题主要考查函数的周期性、分段函数的解析式求法及其图象的作法、集合之间的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
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