Question

【题目】如图，在四棱锥中，ABCD为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面ABCD．

（1）证明：平面平面PBC；

（2）为直线PC的中点，且，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）．

【解析】

（1）由ABCD为矩形，得，再由面面垂直的性质可得平面PAB，则，结合，由线面垂直的判定可得平面PAD，进一步得到平面平面PBC；

（2）取AB中点O，分别以OP，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，分别求出平面MAD与平面MBD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由平方关系求得二面角的正弦值．

（1）证明：为矩形，，

平面平面ABCD，平面平面，

平面PAB，则，

又，，

平面PAD，而平面PBC，

平面平面PBC，即证.

（2）取AB中点O，分别以OP，OB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，

由，是以为直角的等腰直角三角形，

得：，，，，

，，．

设平面MAD的一个法向量为，

由可得，

取，得；

设平面MBD的一个法向量为，

由可得，

取，得．

.

设二面角的平面角为，

则.

二面角的正弦值为．