Question

【题目】已知函数，是实数.

（1）当时，求证：在定义域内是增函数；

（2）讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）只有一个零点.

【解析】

（1）求出，证明出当时，对任意的恒成立，即可得出结论；

（2）由得出，设，其中，然后利用导数讨论函数的单调性，根据单调性和函数值的情况分析根的情况．

（1）函数的定义域为，且，

令，则，令.

当时，；当时，.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，即对任意的恒成立.

因此，函数在定义域上为增函数；

（2）由，可得，

设，其中，则，

令，，则，令.

当时，；当时，.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，

对任意的，，即函数在上单调递增，

当时，，当时，.

对任意的，直线与函数的图象有且只有一个交点.

因此，函数有且只有一个零点.