Question

9．已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|x²-4a+3a²＜0}．
（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用不等式求出集合A．
（1）通过A⊆B，列出不等式组，即可求a的取值范围；
（2）通过A∩B=∅，利用a的范围，列出不等式，即可求a的取值范围．

解答 解：∵A={x|x²-6x+8＜0}，
∴A={x|2＜x＜4}．
（1）当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，应满足$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥4}\end{array}\right.$，解得$\frac{4}{3}$≤a≤2；
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，应满足$\left\{\begin{array}{l}{3a≤2}\\{a≥4}\end{array}\right.$，解得a∈∅．
∴$\frac{4}{3}$≤a≤2时，A⊆B．
（2）要满足A∩B=∅，
当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，a≥4或3a≤2，
∴0＜a≤$\frac{2}{3}$或a≥4．
当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，a≤2或a≥$\frac{4}{3}$．
∴a＜0时成立．验证知当a=0时也成立．
综上所述，a≤$\frac{2}{3}$或a≥4时，A∩B=∅．

点评 本题考查转化思想的应用，不等式组的解法，分类讨论思想的应用，集合的包含关系以及子集关系的应用．考查计算能力，是中档题．