Question

3．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x
（1）求函数y=$\frac{f（x）}{g（x）}$的最大值；
（2）若x＞1 求证f（x）＞2g（$\frac{x-1}{x+1}$）

Answer 1

分析 （1）h（x）=y=$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{lnx}{x}$（x＞0）．h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令h′（x）=0，解得x=e．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出函数y=$\frac{f（x）}{g（x）}$的最大值为h（e）．
（2）x＞1，f（x）＞2g（$\frac{x-1}{x+1}$）?x＞1时，lnx＞2$\frac{x-1}{x+1}$?（x+1）lnx-2（x-1）＞0，x＞1．令u（x）=（x+1）lnx-2（x-1）＞0，x＞1，u（1）=0．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．

解答 （1）解：h（x）=y=$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{lnx}{x}$（x＞0）．
h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令h′（x）=0，解得x=e．
可知：x＞e时，h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减；0＜x＜e时，h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增．
∴x=e时，函数h（x）取得极小值即最大值．
∴函数y=$\frac{f（x）}{g（x）}$的最大值为h（e）=$\frac{1}{e}$．
（2）证明：x＞1，f（x）＞2g（$\frac{x-1}{x+1}$）?x＞1时，lnx＞2$\frac{x-1}{x+1}$?（x+1）lnx-2（x-1）＞0，x＞1．
令u（x）=（x+1）lnx-2（x-1）＞0，x＞1，u（1）=0．
u′（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$-2=$\frac{xlnx+1-x}{x}$．
令v（x）=xlnx+1-x，x＞1．
v′（x）=lnx＞ln1=0．
∴函数v（x）在x＞1时单调递增，∴v（x）＞v（1）=0．
∴u′（x）＞0，
∴函数u（x）在x＞1时单调递增，u（x）＞u（1）=0．
∴（x+1）lnx-2（x-1）＞0，x＞1．即x＞1，f（x）＞2g（$\frac{x-1}{x+1}$）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．