Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a．则直线CD与平面AB₁D₁所成的角的余弦值为

 

．

Answer 1

分析：以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴，以AA₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知条件，求出向量

CD

和平面AB₁D₁的法向量利用向量法能求出直线CD与平面AB₁D₁所成的角的正弦值，再由三角函数的性质能求出其余弦值．

解答：解：以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴，以AA₁为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
∴A（0，0，0），B₁（a，0，a），D₁（0，a，a），
C（a，a，0），D（0，a，0），
∴

AB1

=（a，0，a），

AD1

=（0，a，a），

CD

=(-a，0，0)，
设平面AB₁D₁的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

AB1

•

n

=0，

AD1

•

n

=0，
∴

ax+az=0 ay+az=0

，∴

n

=（1，1，-1），
设直线CD与平面AB₁D₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

CD

，

n

＞|=|

-a

a• 3

|=

3

3

，
∴cosθ=

1-( 3 3 )2

=

6

3

．
故答案为：

6

3

．

点评：本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．