Question

5．设二次函数f（x）=ax²+bx+2a的导函数为f′（x），对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则$\frac{b^2}{a^2}$的最大值为4．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导函数，代入f（x）≥f′（x），转化为二次函数恒成立问题，由判别式小于等于0求得$\frac{b^2}{a^2}$的最大值．

解答 解：由f（x）=ax²+bx+2a，得f′（x）=2ax+b，
令g（x）=f（x）-f′（x）=ax²+bx+2a-2ax-b=ax²-（2a-b）x+2a-b，
对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，等价于g（x）≥0对任意x∈R恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（2a-b）^{2}-4a（2a-b）≤0}\end{array}\right.$，
即4a²≥b²，∴$\frac{b^2}{a^2}$≤4．
故$\frac{b^2}{a^2}$的最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查了恒成立问题，考查了数学转化思想方法，涉及二次函数恒成立问题，常由二次项系数结合判别式解决，是中档题．