Question

【题目】已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若过点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，分别为弦的中点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）8

【解析】

（1）由抛物线上到准线的距离最小的点是顶点可求得，得抛物线方程；

（2）首先题意说明两直线的斜率都存在且均不为，设直线的斜率为，则直线的斜率为，设点，，由直线方程与抛物线方程联立，消元后应用韦达定理求得中点的坐标，求出，同理可得，计算后应用基本不等式可得最小值．

（1）∵抛物线上的点到准线的最小距离为，∴，解得，

∴抛物线的方程为：；

（2）由（1）可知焦点为，

由已知可得，∴两直线的斜率都存在且均不为，

设直线的斜率为，则直线的斜率为，

∴直线的方程为，

联立方程，消去得：，

设点，，则，

∵为弦的中点，所以，

由，得，

∴点，

同理可得：，

∴，，

∴，

当且仅当，即，等号成立，

∴的最小值为.