Question

设x=3是函数f（x）=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一个极值点．
（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，g(x)=(a2+

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4

)ex．若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为x=3是函数f（x）的一个极值点得到f′（3）=0即可得到a与b的关系式；令f′（x）=0，得到函数的极值点，用a的范围分两种情况分别用极值点讨论得到函数的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，得到f（x）在区间[0，4]上的值域，又g(x)=(a2+

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)ex在区间[0，4]上是增函数，求出g(x)=(a2+

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4

)ex的值域，最大减去最小得到关于a的不等式求出解集即可．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-[x²+（a-2）x+b-a]e^3-x，
由f′（3）=0，得-[3²+（a-2）3+b-a]e^3-3=0，即得b=-3-2a，
则f′（x）=[x²+（a-2）x-3-2a-a]e^3-x
=-[x²+（a-2）x-3-3a]e^3-x=-（x-3）（x+a+1）e^3-x．
令f′（x）=0，得x₁=3或x₂=-a-1，
由于x=3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠-4．
当a＜-4时，x₂＞3=x₁，则
在区间（-∞，3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在区间（3，-a-1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在区间（-a-1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
当a＞-4时，x₂＜3=x₁，则
在区间（-∞，-a-1）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在区间（-a-1，3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在区间（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，
而f（0）=-（2a+3）e³＜0，f（4）=（2a+13）e^-1＞0，f（3）=a+6，
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[-（2a+3）e³，a+6]．
又g(x)=(a2+

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)ex在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a²+

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4

，（a²+

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4

）e⁴]，
由于（a²+

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4

）-（a+6）=a²-a+

1

4

=（a-

1

2

）²≥0，
所以只须仅须（a²+

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4

）-（a+6）＜1且a＞0，
解得0＜a＜

3

2

．
故a的取值范围是（0，

3

2

）．

点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．