题目内容

如图，△ABC是以∠C为直角的等腰直角三角形，直角边长为8，DE∥BC，AE：EC=5：3，沿DE将△ADE折起使得点A在平面BCED上的射影是点C， $数学公式$ ．
（Ⅰ）在BD上确定点N的位置，使得MN∥平面ADE；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求CN与平面ABD所成角的正弦值．

解：（Ⅰ）由已知，点A在平面BCED上的射影是点C，则AC⊥平面BCED，而BC⊥CE，
如图建立空间直角坐标系，则可知各点的坐标为C（0，0，0），A（0，0，4），B（0，8，0），D（3，5，0），E（3，0，0），
由MC= $\text{[math]}$ AC，可知点M的坐标为（0，0， $\text{[math]}$ ），
设点N 的坐标为（x，y，0），则可知y=8-x，即点N 的坐标为（x，8-x，0）
设平面ADE的法向量为 $\text{[math]}$ ，
由题意可知 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
可得 $\text{[math]}$ ，取x=4，则z=3，可得 $\text{[math]}$
MN∥平面ADE等价于 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
解之可得x=2，即可知点N的坐标为（2，6，0），点N为BD的三等分点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 $\text{[math]}$ ，
设平面ADB的法向量为 $\text{[math]}$ ，由题意可知 $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，取x=1，则y=1，z=2，可得 $\text{[math]}$
设CN与平面ABD所成角为θ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面ADE的法向量 $\text{[math]}$ ，MN∥平面ADE等价于 $\text{[math]}$ ，由此可得结论；
（Ⅱ）确定 $\text{[math]}$ ，求出平面ADB的法向量，利用向量的夹角公式，可求CN与平面ABD所成角的正弦值．
点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．