Question

如图，△ABC是以∠C为直角的等腰直角三角形，直角边长为8，DE∥BC，AE：EC=5：3，沿DE将△ADE折起使得点A在平面BCED上的射影是点C，MC=

2

3

AC．
（Ⅰ）在BD上确定点N的位置，使得MN∥平面ADE；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求CN与平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面ADE的法向量

n1

=(4，0，3)，MN∥平面ADE等价于

n1

•

MN

=0，由此可得结论；
（Ⅱ）确定

CN

=(2，6，0)，求出平面ADB的法向量，利用向量的夹角公式，可求CN与平面ABD所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，点A在平面BCED上的射影是点C，则AC⊥平面BCED，而BC⊥CE，
如图建立空间直角坐标系，则可知各点的坐标为C（0，0，0），A（0，0，4），B（0，8，0），D（3，5，0），E（3，0，0），
由MC=

2

3

AC，可知点M的坐标为（0，0，

8

3

），
设点N 的坐标为（x，y，0），则可知y=8-x，即点N 的坐标为（x，8-x，0）
设平面ADE的法向量为

n1

=(x，y，z)，
由题意可知

n1 • DE =0 n1 • AE =0

，而

DE

=(0，-5，0)，

AE

=(3，0，-4)
可得

y=0 3x-4z=0

，取x=4，则z=3，可得

n1

=(4，0，3)
MN∥平面ADE等价于

n1

•

MN

=0，即4x+0•(8-x)+3•

8

3

=0
解之可得x=2，即可知点N的坐标为（2，6，0），点N为BD的三等分点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

CN

=(2，6，0)，
设平面ADB的法向量为

n2

=(x，y，z)，由题意可知

n1 • DB =0 n1 • AB =0

，
而

DB

=(-3，3，0)，

AB

=(0，8，-4)可得

-3x+3y=0 8y-4z=0

，取x=1，则y=1，z=2，可得

n2

=(1，1，2)
设CN与平面ABD所成角为θ，sinθ=|

n2 • CN

| n2 |•| CN |

|=

2 15

15

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．