Question

如图，△ABC是以∠ABC为直角三角形，SA⊥平面ABCD，SA=BC=2，AB=4．M、N、D分别是SC、AB、BC的中点．
（1）求证：MN⊥AB；
（2）（文科）求二面角S-ND-A的余弦值；
（3）（理科）求点A到平面SND的距离．

Answer 1

分析：（1）取AC的中点E，连接ME，NE，根据SA⊥平面ABCD，根据线面垂直的第二判定定理可得ME⊥平面ABC，则NE为MN在平面ABC内的射影，由NE⊥AB，结合由三垂线定理可得MN⊥AB；
（2）过A作AF⊥DN与DN的延长线相交于点F，连接SF，由三垂线定理知，∠SFA即为二面角S-ND-A的平面角，解三角形，即可得到二面角S-ND-A的余弦值；
（3）过点A作AH⊥SF于H，结合（2）的结论，易得AH的长即为点A到平面SND的距离，解Rt△AHF，即可求出点A到平面SND的距离．

解答：证明：（1）取AC的中点E，连接ME，NE，则ME∥SA
又∵SA⊥平面ABC，
∴ME⊥平面ABC
∴NE为MN在平面ABC内的射影
又∵N，E分别为AB，AC的中点
∴NE∥BC
∴NE⊥AB
由三垂线定理知MN⊥AB
（2）过A作AF⊥DN与DN的延长线相交于点F，连接SF
由三垂线定理知，∠SFA即为二面角S-ND-A的平面角
在Rt△DBN中，tan∠DNB=

DB

BN

=

1

2

∴sin∠DNB=

5

5

在Rt△AFN中，NF=AN•sin∠DNB=

2 5

5

在Rt△SAF中，tan∠SFA=

SA

AF

=

5

∴cos∠SFA=

6

6

即二面角S-ND-A的余弦值为

6

6

（3）过点A作AH⊥SF于H
由（2）知平面SAF⊥平面SND
∴AH⊥平面SND
∴AH的长即为点A到平面SND的距离
在Rt△AHF中，AH=AF•sin∠SAF=

2 5

5

•

30

6

=

6

3

故点A到平面SND的距离为

6

3

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与直线垂直的判定，点到平面的距离，（1），（2）的关键是熟练掌握三垂直定理，而（3）的关键是根据（2）的结合得到AH的长即为点A到平面SND的距离．