Question

【题目】已知函数（且）.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；

（3）当时，若不等式对于恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）奇函数（2）详见解析（3）1

【解析】

（1）利用奇偶性的定义判断即可；

（2）利用单调性的定义判断即可；

（3）利用函数性质化抽象不等式为对恒成立，然后变量分离，转求最值即可.

（1）因为函数的定义域为，

所以

所以函数为奇函数.

（2）

当时，在上是减函数，

当时，在上是增函数，

证明如下：

任取，则

因为，所以，，所以

所以当时，，，

所以，故函数在上是减函数.

所以当时，，所以，

所以，故函数在上是增函数.

（3）由（1）知，是奇函数，，即.

当时，由（2）知，在上是减函数，从而在上是减函数，故对恒成立，即对恒成立.

因为在上是减函数，所以的值域为.

所以，故实数的最大值为1.