Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.若不等式恒成立，则的最小值为_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

求出，可得当时，，在 上为增函数，

从而是不可能恒成立的.，当时，由，得，此时函数单调递增，由，得，此时函数单调递减，可得出函数的最大值,从而得到，设，然后求导得出函数的最小值即可.

函数，其中为自然对数的底数

则，

当时，，在 上为增函数，

又当 时，所以是不可能恒成立的.

当时，由，得，此时函数单调递增.

由，得，此时函数单调递减.

所以

由不等式恒成立，即恒成立.

即恒成立，

所以

设，则

设，则

由得， ，此时函数单调递增，

由得， ，此时函数单调递减，

所以

又当时，，,当时，.

所以当 时，，单调递减.

当 时，，单调递增.

所以

所以的最小值为：.

故答案为：.