Question

已知二次函数f（x）=ax²+x．对于?x∈（0，1]，|f（x）|≤1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：解法一：由|f（x）|≤1得-1≤f（x）≤1，从中分离出系数a，将其转化为恒成立问题可解．
解法二：本题还可以从a的正、负入手，考虑a＞0与a＜0两种情况，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解．

解答：解法一：|f（x）|≤1?-1≤f（x）≤1?-1≤ax²+x≤1，x∈（0，1]=1 ①
①式等价于-

1

x2

-

1

x

≤a≤

1

x2

-

1

x

在x∈（0，1]上恒成立．
设t=

1

x

，则t∈[1，+∞），则有-t²-t≤a≤t²-t，所以只须，

a≥(-t2-t)max=-2 a≤(t2-t)min=0

?-2≤a≤0，又a≠0，
∴-2≤a＜0．
综上，所求实数a的取值范围是[-2，0）．
解法二：由|f（x）|≤1得-1≤ax²+x≤1，x∈（0，1]，
（1）当a＞0时，函数f（x）=ax²+x的图象开口方向向上，对称轴为x=-

1

2a

＜0，
且经过原点（0，0），只需f（1）=a+1≤1，即a≤0，矛盾!
（2）当a＜0时，函数f（x）=ax²+x的图象开口方向向下，对称轴为x=-

1

2a

＞0，
且经过原点（0，0），f（1）=a+1＜1，
（i）当-

1

2a

＜

1

2

，即a＜-1时，需满足f(x)max=f(-

1

2a

)=-

1

4a

≤1
及f（x）_min=f（1）=a+1≥-1，即-2≤a≤-

1

4

；
（ii）当

1

2

≤-

1

2a

≤1，即-1≤a≤-

1

2

时，需满足f(x)max=f(-

1

2a

)=-

1

4a

≤1，
即a≤-

1

4

，
∴-1≤a≤-

1

2

；
（iii）当-

1

2a

≥1，即-

1

2

≤a＜0，需满足f（x）_max=f（1）=a+1≤1，这显然成立；
综上，实数a的取值范围是[-2，0）．

点评：解决本题的灵魂在于“转化”，先将转化为恒成立问题，再以t=

1

x

将问题转化为二次函数问题，最终得以解决．很多问题在实施“化难为易”、“化生为熟”中得以解决．
解法二分类讨论目的是，分解问题难度，化整为零，各个击破．本解法比前一解法虽然复杂不少，但是其中所蕴涵的分类讨论思想与数形结合思想却是处理很多疑难问题的“利剑”．