Question

如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=2，AC=1．
（1）证明PC⊥AB；
（2）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的性质证明PC⊥AB．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A-PC-B的余弦值．

解答：解：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AB⊥PA
∵AB⊥AC且AC与PA是平面PAC的两条相交直线，
∴PC⊥AB．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C （0，1，0），P（0，0，2）．
平面PAC的一个法向量

m

=（1，0，0）．

PC

=（0，1，-2），

CB

=（2，-1，0）．
设

n

=（x，y，z）是平面PCD的一个法向量，
则

n • PC =0 n • CB =0

，
即

y-2z=0 2x-y=0

，不妨令z=1，则

n

=（1，2，1）．
于是cos＜

m

，

n

＞=

m•n

|m|•|n|

=

1

6

=

6

6

．
∴二面角A-PC-B的余弦值为

6

6

．

点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的位置关系的判断，以及求空间二面角的大小，利用向量法是解决空间向量问题的基本方法．