Question

已知函数f（x）=sin²x+

3

sinxcosx+2cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

（I）f(x)=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x+(1+cos2x)
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

=sin(2x+

π

6

)+

3

2

．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
由题意得2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（II）先把y=sin2x图象上所有点向左平移

π

12

个单位长度，得到y=sin(2x+

π

6

)的图象，
再把所得图象上所有的点向上平移

3

2

个单位长度，就得到y=sin(2x+

π

6

)+

3

2

的图象．