Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n且（λ为常数）．令c_n=b_2n（n∈N^※）求数列{c_n}的前n项和R_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{a_n}的通项公式；
（2）把{a_n}的通项公式代入，求出当n≥2时的通项公式，然后由c_n=b_2n得数列{c_n}的通项公式，最后利用错位相减法求其前n项和．
解答：解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由a_2n=2a_n+1，取n=1，得a₂=2a₁+1，即a₁-d+1=0①
再由S₄=4S₂，得，即d=2a₁②
联立①、②得a₁=1，d=2．
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）把a_n=2n-1代入，得，则．
所以b₁=T₁=λ-1，
当n≥2时，=．
所以，．
R_n=c₁+c₂+…+c_n=③
④
③-④得：=
所以；
所以数列{c_n}的前n项和．
点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中档题．