Question

【题目】已知函数．

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；

（3）当时，若直线是函数图象有两个交点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）令，根据导函数讨论单调性，转化为，，求参数的取值范围；

（2）设切点，写出切线方程，得，利用函数单调性求解；

（3）令，将问题转化为在上有两个零点，求参数的取值范围.

解：（1）由，得，则

，

因为在上单调递增，所以，，，

即，，令，在上单调递增，且能取到上一切实数，所以，故实数的取值范围为．

（2）设切点为，则切线方程为，

因为直线是函数图象的切线，

所以，，所以，

令， ，则

当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以．

所以的最小值为．

（3）当时，令，则．

当时，，在上单调递增，在上至多一个零点，

故．令方程的大根为，则．

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减．

因为在上有两个零点，所以，

解得（构造函数，根据单调性求解），

所以．

取，则，

根据零点存在性定理，在上至少有一个零点，又在上单调递增，

所以在上只有一个零点．

同理，在上只有一个零点．

综上，实数的取值范围为.