Question

【题目】已知等差数列的前n项和为Sn，若为等差数列，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在正整数， 使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；

（3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数k的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3，9，27；（3）3

【解析】

（1）利用等差数列的通项和求和公式，再利用等差中项得，然后求得公差d=2，求出通项；

（2）假设存在，使得，，成等比数列，利用等比数列中项可得

法一：利用函数的单调性转化为零点问题求解；法二：直接解方程求解；得出n=1；

（3）根据题意由 可知，，然后用累加法和放缩法得

，再对n进行讨论，求得k的值.

（1）设等差数列的公差d，则，．

又是等差数列，所以，

即，解得d＝2．

此时，，符合数列是等差数列，

所以．

（2）假设存在，使得，，成等比数列．

则，

由（1）可知，，代入上式，得

，

整理得．（*）

法一： 令，x≥1．

则，

所以在上单调增，

所以在上至少有一个根．

又，

故是方程（*）的唯一解．

所以存在，使得，，成等比数列，

且该等比数列为3，9，27．

法二：，即，

所以方程（*）可整理为．

因为，所以无解，故．

所以存在，使得，，成等比数列，

且该等比数列为3，9，27．

（3）由 可知，．

又，，故，所以．

依题意，对任意恒成立，

所以，即，故．

若，据，可得

当，时，

．

由及可得．

所以，当，时，，即．

故当，时，，故不合题意．

若，据，可得，即．

所以，当，时，，

当时，，得，所以．

当，时，

，

所以，

故．

故当时，对任意都成立．

所以正整数k的最小值为3．