Question

16．f（x）=x•lg（$\frac{1+x}{1-x}$）．
（1）证明函数的奇偶性；
（2）判断f（x）在[0，1）上的单调性（只需写出单调性结论，不需要证明过程），并解不等式f（x）＞f（2x-1）．

Answer 1

分析 （1）根据定义f（-x）=（-x）lg$\frac{1-x}{1+x}$=（-x）lg[$\frac{1+x}{1-x}$]^-1=x•lg$\frac{1+x}{1-x}$，得出f（x）为偶函数；
（2）运用f（x）为偶函数，且在[0，1）递增，在（-1，0]递减，列出不等式组求解．

解答 解：（1）∵$\frac{1+x}{1-x}$＞0，∴-1＜x＜1，
即函数f（x）的定义域为（-1，1），
又f（-x）=（-x）lg$\frac{1-x}{1+x}$=（-x）lg[$\frac{1+x}{1-x}$]^-1=x•lg$\frac{1+x}{1-x}$，
所以，f（-x）=f（x），
故f（x）为偶函数；
（2）f（x）=xlg$\frac{1+x}{1-x}$为[0，1）上的增函数，
又因为f（x）为偶函数，所以x∈（-1，0]是减函数，
所以，不等式f（x）＞f（2x-1）等价为：$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{-1＜2x-1＜1}\\{|x|＞|2x-1|}\end{array}\right.$，
解得x∈（$\frac{1}{3}$，1），
∴原不等式的解集为{x|$\frac{1}{3}$＜x＜1}．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的证明，以及应用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题．